Luyện nói tiếng Anh bằng Shadowing qua video: Hilbert's Curve: Is infinite math useful?
Chọn chế độ luyện tập
Mỗi chế độ mở một phòng luyện tập toàn màn hình.
119 câu
Nếu các câu quá ngắn hoặc quá dài, hãy bấm Edit để chỉnh sửa.
1
Let's talk about space-filling curves.
Hãy cùng nói về các đường cong lấp đầy không gian.
2
They are incredibly fun to animate, and they also give a chance to address a certain philosophical question.
Chúng cực kỳ thú vị khi hoạt hình hóa, và chúng cũng mang đến cơ hội để giải quyết một câu hỏi triết học nhất định.
3
Math often deals with infinite quantities, sometimes so intimately that the very substance of a result only actually makes sense in an infinite world.
Toán học thường nghiên cứu các đại lượng vô hạn, đến mức đôi khi bản chất của một kết quả chỉ có ý nghĩa trong một thế giới vô hạn.
4
So the question is, how can these results ever be useful in a finite context?
Vậy thì câu hỏi đặt ra là, làm thế nào những kết quả này có thể hữu ích trong một bối cảnh hữu hạn?
5
As with all philosophizing, this is best left to discuss until after we look at the concrete case and the real math.
Giống như mọi cuộc thảo luận về triết học, vấn đề này tốt nhất nên được bàn luận sau khi chúng ta xem xét trường hợp cụ thể và các phép toán thực tế.
6
So I'll begin by laying down an application of something called a Hilbert curve, followed by a description of some of its origins in infinite math.
Vì vậy, tôi sẽ bắt đầu bằng cách trình bày một ứng dụng của thứ gọi là đường cong Hilbert, sau đó là mô tả về một số nguồn gốc của nó trong toán học vô hạn.
7
Let's say you wanted to write some software that would enable people to see with their ears.
Giả sử bạn muốn viết một phần mềm cho phép mọi người nhìn bằng tai.
8
It would take in data from a camera, and then somehow translate that into a sound in a meaningful way.
Nó sẽ nhận dữ liệu từ máy ảnh, rồi sau đó bằng cách nào đó chuyển đổi dữ liệu đó thành âm thanh theo một cách có ý nghĩa.
9
The thought here is that brains are plastic enough to build an intuition from sight even when the raw data is scrambled into a different format.
Ý tưởng ở đây là bộ não có đủ khả năng linh hoạt để hình thành trực giác dựa trên thị giác ngay cả khi dữ liệu thô đã được sắp xếp lại theo một định dạng khác.
10
I've left a few links in the description to studies to this effect.
Tôi đã để một vài liên kết đến các nghiên cứu về vấn đề này trong phần mô tả.
11
To make initial experiments easier, you might start by treating incoming images with a low resolution, maybe 256 by 256 pixels.
Để thực hiện các thí nghiệm ban đầu dễ dàng hơn, bạn có thể bắt đầu bằng cách xử lý các hình ảnh đầu vào với độ phân giải thấp, ví dụ 256 x 256 pixel.
12
And to make my own animation efforts easier, let's represent one of these images with a square grid, each cell corresponding with a pixel.
Và để việc tạo hoạt ảnh của riêng tôi trở nên dễ dàng hơn, hãy biểu diễn một trong những hình ảnh này bằng một lưới ô vuông, mỗi ô tương ứng với một pixel.
13
One approach to this sound-to-sight software would be to find a nice way to associate each one of those pixels with a unique frequency value.
Một cách tiếp cận đối với phần mềm chuyển âm thanh thành hình ảnh này là tìm ra một phương pháp hợp lý để liên kết mỗi pixel với một giá trị tần số duy nhất.
14
Then when that pixel is brighter, the frequency associated with it would be played louder, and if the pixel were darker, the frequency would be quiet.
Sau đó, khi pixel đó sáng hơn, tần số tương ứng với nó sẽ được phát ra với âm lượng lớn hơn, còn nếu pixel tối hơn thì tần số đó sẽ có âm lượng nhỏ hơn.
15
Listening to all of the pixels all at once would then sound like a bunch of frequencies overlaid on top of one another, with dominant frequencies corresponding to the brighter regions of the image sounding like some cacophonous mess until your brain learns to make sense out of the information it contains.
Việc nghe tất cả các pixel cùng một lúc sẽ tạo ra âm thanh như một loạt các tần số chồng chéo lên nhau, với các tần số chủ đạo tương ứng với các vùng sáng hơn của hình ảnh tạo ra một mớ hỗn độn âm thanh cho đến khi não bộ của bạn học được cách hiểu thông tin chứa trong đó.
16
Let's temporarily set aside worries about whether or not this would actually work, and instead think about what function, from pixel space down to frequency space, gives this software the best chance of working.
Tạm thời gạt bỏ những lo ngại về việc liệu phương pháp này có thực sự hoạt động được hay không, thay vào đó hãy xem xét hàm nào, từ không gian pixel đến không gian tần số, sẽ mang lại cho phần mềm này cơ hội hoạt động tốt nhất.
17
The tricky part is that pixel space is two-dimensional, but frequency space is one-dimensional.
Điểm phức tạp là không gian pixel có hai chiều, còn không gian tần số chỉ có một chiều.
18
You could, of course, try doing this with a random mapping.
Tất nhiên, bạn có thể thử thực hiện việc này bằng một ánh xạ ngẫu nhiên.
19
After all, we're hoping that people's brains make sense out of pretty wonky data anyway.
Rốt cuộc, chúng tôi vẫn hy vọng rằng bộ não của con người sẽ tự động lý giải được ngay cả những dữ liệu khá lộn xộn và không nhất quán.
20
However, it might be nice to leverage some of the intuitions that a given human brain already has about sound.
Tuy nhiên, có lẽ sẽ rất hữu ích nếu tận dụng một số trực giác mà bộ não con người đã có sẵn về âm thanh.
21
For example, if we think in terms of the reverse mapping from frequency space to pixel space, frequencies that are close together should stay close together in the pixel space.
Ví dụ, nếu chúng ta xem xét phép ánh xạ ngược từ không gian tần số sang không gian pixel, các tần số gần nhau sẽ vẫn giữ được vị trí gần nhau trong không gian pixel.
22
That way, even if an ear has a hard time distinguishing between two nearby frequencies, they will at least refer to the same basic point in space.
Như vậy, ngay cả khi tai gặp khó khăn trong việc phân biệt hai tần số gần nhau, chúng ít nhất cũng sẽ tương ứng với cùng một điểm cơ bản trong không gian.
23
To ensure this happens, you could first describe a way to weave a line through each one of these pixels.
Để đảm bảo điều này xảy ra, trước tiên bạn có thể mô tả một cách để luồn một đường thẳng qua từng pixel trong số này.
24
Then if you fix each pixel to a spot on that line and unravel the whole thread to make it straight, you could interpret this line as a frequency space, and you have an association from pixels to frequencies.
Sau đó, nếu bạn cố định từng pixel vào một vị trí trên đường thẳng đó và kéo toàn bộ sợi chỉ ra để nó thẳng đứng, bạn có thể coi đường thẳng này là không gian tần số, và bạn sẽ có được mối liên hệ giữa các pixel và tần số.
25
One weaving method would be to just go one row at a time, alternating between left and right as it moves up that pixel space.
Một phương pháp dệt là chỉ cần thực hiện từng hàng một, xen kẽ giữa trái và phải khi di chuyển lên trên không gian pixel đó.
26
This is like a well-played game of Snake, so let's call this a Snake Curve.
Điều này giống như một ván game Snake được chơi rất khéo léo, vì vậy hãy gọi đây là Đường cong Snake.
27
When you tell your mathematician friend about this idea, she says, why not use a Hilbert curve?
Khi bạn kể cho người bạn là nhà toán học của mình về ý tưởng này, cô ấy nói, tại sao không dùng đường cong Hilbert?
28
When you ask her what that is, she stumbles for a moment.
Khi bạn hỏi cô ấy đó là cái gì, cô ấy lúng túng một lát.
29
So it's not a curve, but an infinite family of curves.
Vậy thì đó không phải là một đường cong, mà là một họ đường cong vô hạn.
30
She starts, well no, it's just one thing, but I need to tell you about a certain infinite family first.
Cô ấy bắt đầu, à không, chỉ là một vấn đề thôi, nhưng trước hết tôi cần kể cho bạn nghe về một họ vô hạn nhất định.
31
She pulls out a piece of paper and starts explaining what she decides to call pseudo-Hilbert curves, for lack of a better term.
Cô ấy rút ra một tờ giấy và bắt đầu giải thích về những đường cong mà cô quyết định gọi là đường cong giả Hilbert, vì chưa có thuật ngữ nào tốt hơn.
32
For an order-one pseudo-Hilbert curve, you divide a square into a 2x2 grid, and connect the center of the lower left quadrant to the center of the upper left, over to the upper right, and then down in the lower right.
Đối với đường cong pseudo-Hilbert bậc một, bạn chia một hình vuông thành lưới 2x2, rồi nối tâm của góc phần tư dưới trái với tâm của góc phần tư trên trái, tiếp nối sang góc phần tư trên phải, rồi đi xuống đến góc phần tư dưới phải.
33
For an order-two pseudo-Hilbert curve, rather than just going straight from one quadrant to another, we let our curve do a little work to fill out each quadrant while it does so.
Đối với đường cong giả Hilbert bậc hai, thay vì chỉ đi thẳng từ một g phần tư sang g phần tư khác, chúng ta để đường cong thực hiện một chút thao tác để lấp đầy từng g phần tư trong quá trình di chuyển.
34
Specifically, subdivide the square further into a 4x4 grid, and we have our curve trace out a miniature order-one pseudo-Hilbert curve inside each quadrant before it moves on to the next.
Cụ thể hơn, hãy chia nhỏ hình vuông thành một lưới 4x4, và đường cong của chúng ta sẽ vẽ ra một đường cong giả Hilbert bậc một thu nhỏ bên trong mỗi góc phần tư trước khi chuyển sang góc tiếp theo.
35
If we left those mini-curves oriented as they are, going from the end of the mini-curve in the lower left to the start of the mini-curve in the upper left requires an awkward jump, same deal with going from the upper right down to the lower right, so we flip the curves in the lower left and lower right to make that connection shorter.
Nếu chúng ta để những đường cong nhỏ đó giữ nguyên hướng như hiện tại, việc di chuyển từ điểm cuối của đường cong nhỏ ở góc dưới bên trái đến điểm bắt đầu của đường cong nhỏ ở góc trên bên trái sẽ đòi hỏi một bước nhảy không tự nhiên, tương tự như khi di chuyển từ góc trên bên phải xuống góc dưới bên phải, vì vậy chúng ta lật ngược các đường cong ở góc dưới bên trái và góc dưới bên phải để làm cho kết nối đó ngắn hơn.
36
Going from an order-two to an order-three pseudo-Hilbert curve is similar.
Việc chuyển từ đường cong Hilbert giả bậc hai sang đường cong Hilbert giả bậc ba là tương tự.
37
You divide the square into an 8x8 grid, then put an order-two pseudo-Hilbert curve in each quadrant, flip the lower left and lower right appropriately, and connect them all tip to tail.
Bạn chia hình vuông thành một lưới 8x8, sau đó đặt một đường cong Hilbert giả bậc hai vào mỗi góc phần tư, lật góc dưới bên trái và góc dưới bên phải một cách thích hợp, rồi nối tất cả các đầu của chúng lại với nhau.
38
And the pattern continues like that for higher orders.
Và mô hình này tiếp diễn như vậy đối với các bậc cao hơn.
39
For the 256x256 pixel array, your mathematician friend explains, you would use an order-eight pseudo-Hilbert curve.
Đối với mảng 256×256 pixel, người bạn là nhà toán học của bạn giải thích rằng bạn sẽ sử dụng đường cong giả Hilbert bậc tám.
40
And remember, defining a curve which weaves through each pixel is basically the same as defining a function from pixel space to frequency space, since you're associating each pixel with a point on the line.
Và hãy nhớ rằng, việc định nghĩa một đường cong đi qua từng pixel về cơ bản là giống như định nghĩa một hàm số từ không gian pixel sang không gian tần số, vì bạn đang liên kết mỗi pixel với một điểm trên đường thẳng đó.
41
Now this is nice as a piece of art, but why would these pseudo-Hilbert curves be any better than just the snake curve?
Về mặt nghệ thuật thì cái này khá đẹp, nhưng tại sao những đường cong giả Hilbert lại tốt hơn là chỉ dùng đường cong dạng rắn?
42
Well here's one very important reason.
Vâng, đây là một lý do rất quan trọng.
43
Imagine that you go through with this project, you integrate the software with real cameras and headphones, and it works!
Hãy tưởng tượng rằng bạn thực hiện dự án này, tích hợp phần mềm với máy ảnh và tai nghe thực tế, và nó hoạt động hoàn hảo!
44
People around the world are using the device, building intuitions for vision via sound.
Người dùng trên khắp thế giới đang sử dụng thiết bị này, xây dựng khả năng nhận thức thị giác thông qua âm thanh.
45
What happens when you issue an upgrade that increases the resolution of the camera's image from 256x256 to 512x512?
Điều gì xảy ra khi bạn phát hành một bản nâng cấp làm tăng độ phân giải hình ảnh của máy ảnh từ 256x256 lên 512x512?
46
If you were using the snake curve, as you transition to a higher resolution, many points on this frequency line would have to go to completely different parts of pixel space.
Nếu bạn đang sử dụng đường cong snake, thì khi chuyển sang độ phân giải cao hơn, nhiều điểm trên đường tần số này sẽ phải di chuyển đến các vị trí hoàn toàn khác trong không gian pixel.
47
For example, let's follow a point about halfway along the frequency line.
Ví dụ, hãy theo dõi một điểm nằm ở khoảng giữa đường tần số.
48
It'll end up about halfway up the pixel space, no matter the resolution, but where it is left to right can differ wildly as you go from 256x256 up to 512x512.
Nó sẽ nằm ở khoảng giữa không gian pixel bất kể độ phân giải là bao nhiêu, nhưng vị trí theo chiều ngang có thể thay đổi rất lớn khi bạn chuyển từ 256x256 lên 512x512.
49
This means everyone using your software would have to re-learn how to see with their ears, since the original intuitions of which points in space correspond to which frequencies no longer apply.
Điều này có nghĩa là mọi người sử dụng phần mềm của bạn sẽ phải học lại cách "nhìn bằng tai", vì những trực giác ban đầu về việc các điểm trong không gian tương ứng với tần số nào sẽ không còn đúng nữa.
50
However, with the Hilbert curve technique, as you increase the order of a pseudo-Hilbert curve, a given point on the line moves around less and less, it just approaches a more specific point in space.
Tuy nhiên, với kỹ thuật đường cong Hilbert, khi bạn tăng bậc của một đường cong Hilbert giả, một điểm nhất định trên đường cong sẽ di chuyển ngày càng ít đi, nó chỉ tiến gần đến một điểm cụ thể hơn trong không gian.
51
That way, you've given your users the opportunity to fine-tune their intuitions, rather than re-learning everything.
Như vậy, bạn đã cho người dùng cơ hội tinh chỉnh trực giác của họ thay vì phải học lại tất cả mọi thứ.
52
So, for this sound-to-sight application, the Hilbert curve approach turns out to be exactly what you want.
Vì vậy, đối với ứng dụng chuyển âm thanh thành hình ảnh này, phương pháp đường cong Hilbert hóa ra lại chính xác là thứ bạn cần.
53
In fact, given how specific the goal is, it seems almost weirdly perfect.
Trên thực tế, xét đến mức độ cụ thể của mục tiêu này, nó gần như hoàn hảo một cách kỳ lạ.
54
So you go back to your mathematician friend and ask her, what was the original motivation for defining one of these curves?
Vậy bạn quay lại hỏi người bạn là nhà toán học của mình, động lực ban đầu để định nghĩa một trong những đường cong này là gì?
55
She explains that near the end of the 19th century, in the aftershock of Cantor's research on infinity, mathematicians were interested in finding a mapping from a one-dimensional line into two-dimensional space in such a way that the line runs through every single point in space.
Bà giải thích rằng vào cuối thế kỷ 19, trong giai đoạn sau những nghiên cứu của Cantor về vô cực, các nhà toán học đã quan tâm đến việc tìm một phép ánh xạ từ đường thẳng một chiều vào không gian hai chiều sao cho đường thẳng đi qua mọi điểm trong không gian.
56
To be clear, we're not talking about a finite bounded grid of pixels, like we had in the sound-to-sight application.
Để rõ ràng hơn, chúng ta không đang nói về một lưới pixel hữu hạn có giới hạn, giống như những gì chúng ta có trong ứng dụng chuyển âm thanh thành hình ảnh.
57
This is continuous space, which is very infinite, and the goal is to have a line which is as thin as can be and has zero area, somehow pass through every single one of those infinitely many points that makes up the infinite area of space.
Đây là không gian liên tục, một không gian vô cùng vô tận, và mục tiêu là làm sao để một đường thẳng mỏng nhất có thể, có diện tích bằng không, đi qua từng điểm một trong vô số những điểm tạo nên diện tích vô tận của không gian đó.
58
Before 1890, a lot of people thought this was obviously impossible, but then Peano discovered the first of what would come to be known as space-filling curves.
Trước năm 1890, nhiều người cho rằng điều này rõ ràng là không thể, nhưng sau đó Peano đã khám phá ra đường cong đầu tiên trong nhóm những đường cong mà sau này được gọi là đường cong phủ toàn bộ không gian.
59
In 1891, Hilbert followed with his own slightly simpler space-filling curve.
Năm 1891, Hilbert tiếp tục giới thiệu đường cong lấp đầy không gian của riêng mình, có cấu trúc đơn giản hơn một chút.
60
Technically, each one fills a square, not all of space, but I'll show you later on how once you filled a square with a line, filling all of space is not an issue.
Về mặt kỹ thuật, mỗi đường chỉ lấp đầy một hình vuông, chứ không phải toàn bộ không gian, nhưng sau này tôi sẽ cho bạn thấy rằng một khi bạn đã lấp đầy một hình vuông bằng một đường thì việc lấp đầy toàn bộ không gian sẽ không còn là vấn đề gì.
61
By the way, mathematicians use the word curve to talk about a line running through space even if it has jagged corners.
Nhân tiện, các nhà toán học dùng từ đường cong để chỉ một đường chạy xuyên qua không gian ngay cả khi nó có những góc cạnh sắc nhọn.
62
This is especially counterintuitive terminology in the context of a space-filling curve, which in a sense consists of nothing but sharp corners.
Đây là một thuật ngữ đặc biệt trái ngược với trực giác trong bối cảnh của đường cong phủ toàn bộ không gian, vốn theo một nghĩa nào đó không bao gồm gì ngoài các góc nhọn.
63
A better name might be something like space-filling fractal, which some people do use, but hey, it's math, so we live with bad terminology.
Một cái tên tốt hơn có lẽ là fractal lấp đầy không gian, một thuật ngữ mà một số người thực sự sử dụng, nhưng thôi, đây là toán học nên chúng ta phải chấp nhận những thuật ngữ không được hoàn hảo.
64
None of the pseudo-Hilbert curves that you use to fill pixelated space would count as a space-filling curve, no matter how high the order.
Không một đường cong giả Hilbert nào mà bạn dùng để lấp đầy không gian pixel được coi là đường cong lấp đầy không gian, bất kể bậc của nó có cao đến đâu.
65
Just zoom in on one of the pixels.
Chỉ cần phóng to vào một trong những pixel đó.
66
When this pixel is considered part of infinite, continuous space, the curve only passes through the tiniest zero-area slice of it, and it certainly doesn't hit every point.
Khi pixel này được coi là một phần của không gian liên tục vô hạn, đường cong chỉ đi qua một mảnh cực nhỏ có diện tích bằng không của nó, và chắc chắn không đi qua mọi điểm.
67
Your mathematician friend explains that an actual bonafide Hilbert curve is not any one of these pseudo-Hilbert curves.
Người bạn là nhà toán học của bạn giải thích rằng một đường cong Hilbert thực sự, chính thống không phải là bất kỳ đường cong giả Hilbert nào trong số này.
68
Instead it's the limit of all of them.
Thay vào đó, nó là giới hạn của tất cả những điều đó.
69
Defining this limit rigorously is delicate.
Việc định nghĩa giới hạn này một cách chặt chẽ là một vấn đề đòi hỏi sự tỉ mỉ.
70
You first have to formalize what these curves are as functions, specifically functions which take in a single number somewhere between 0 and 1 as their input, and output a pair of numbers.
Trước hết, bạn cần chính thức hóa những đường cong này thành các hàm số, cụ thể là các hàm nhận đầu vào là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, và trả về một cặp số.
71
This input can be thought of as a point on the line, and the output can be thought of as coordinates in 2D space.
Đầu vào này có thể được coi là một điểm trên đường thẳng, và đầu ra có thể được coi là các tọa độ trong không gian hai chiều.
72
But in principle it's just an association between a single number and pairs of numbers.
Nhưng về nguyên tắc, đó chỉ là một mối liên kết giữa một số đơn và các cặp số.
73
For example, an order-2 pseudo-Hilbert curve as a function maps the input 0.3 to the output pair 0.125, 0.75.
Ví dụ, đường cong giả-Hilbert bậc 2 dưới dạng một hàm số ánh xạ đầu vào 0,3 thành cặp đầu ra là 0,125 và 0,75.
74
An order-3 pseudo-Hilbert curve maps that same input 0.3 to the output pair 0.0758, 0.6875.
Đường cong giả Hilbert bậc 3 ánh xạ cùng giá trị đầu vào 0,3 thành cặp giá trị đầu ra 0,0758 và 0,6875.
75
Now the core property that makes a function like this a curve, and not just any ol' association between single numbers and pairs of numbers, is continuity.
Bây giờ, tính chất cốt lõi làm cho một hàm số như thế này trở thành một đường cong, chứ không phải chỉ là một mối liên kết ngẫu nhiên giữa các số đơn lẻ và các cặp số, chính là tính liên tục.
76
The intuition behind continuity is that you don't want the output of your function to suddenly jump at any point when the input is only changing smoothly.
Trực giác đằng sau tính liên tục là bạn không muốn giá trị của hàm số bị nhảy đột ngột tại bất kỳ điểm nào khi đầu vào chỉ thay đổi một cách trơn tru.
77
And the way this is made rigorous in math is actually pretty clever, and fully appreciating space-filling curves requires digesting the formal idea of continuity, so it's definitely worth taking a brief side-step to go over it now.
Và cách mà điều này được chứng minh một cách chặt chẽ trong toán học thực sự khá thông minh, và để hiểu đầy đủ về các đường cong lấp đầy không gian, chúng ta cần nắm được khái niệm chính thức về tính liên tục, vì vậy chắc chắn đáng để dành một chút thời gian đi qua khái niệm này ngay bây giờ.
78
Consider a particular input point, a, and the corresponding output of the function, b.
Xét một điểm đầu vào cụ thể a và giá trị đầu ra tương ứng của hàm số là b.
79
Draw a circle centered around a, and look at all the other input points inside that circle, and consider where the function takes all those points in the output space.
Vẽ một đường tròn có tâm là điểm a, xem xét tất cả các điểm đầu vào khác nằm bên trong đường tròn đó, rồi xác định vị trí mà hàm số ánh xạ tất cả các điểm đó đến trong không gian đầu ra.
80
Now draw the smallest circle you can centered at b that contains those outputs.
Bây giờ hãy vẽ đường tròn nhỏ nhất có thể có tâm tại b sao cho bao gồm tất cả các kết quả đầu ra đó.
81
Different choices for the size of the input circle might result in larger or smaller circles in the output space.
Các lựa chọn khác nhau về kích thước của vòng tròn đầu vào có thể dẫn đến các vòng tròn lớn hơn hoặc nhỏ hơn trong không gian đầu ra.
82
But notice what happens when we go through this process at a point where the function jumps, drawing a circle around a, and looking at the input points within the circle, seeing where they map, and drawing the smallest possible circle centered at b containing those points.
Nhưng hãy chú ý xem điều gì xảy ra khi chúng ta thực hiện quy trình này tại một điểm mà hàm số có sự nhảy vọt: vẽ một đường tròn quanh điểm a, xem xét các điểm đầu vào nằm bên trong đường tròn đó, quan sát chúng được ánh xạ tới đâu, và vẽ đường tròn nhỏ nhất có tâm tại b chứa tất cả các điểm ảnh xạ đó.
83
No matter how small the circle around a, the corresponding circle around b just cannot be smaller than that jump.
Dù cho vòng tròn quanh a có nhỏ đến đâu đi nữa, vòng tròn tương ứng quanh b cũng không thể nhỏ hơn mức nhảy đó.
84
For this reason, we say that the function is discontinuous at a if there's any lower bound on the size of this circle that surrounds b.
Vì lý do này, chúng ta nói rằng hàm số không liên tục tại a nếu tồn tại một giới hạn dưới nào đó đối với kích thước của đường tròn bao quanh điểm b.
85
If the circle around b can be made as small as you want, with sufficiently small choices for circles around a, you say that the function is continuous at a.
Nếu hình tròn bao quanh điểm b có thể được làm nhỏ đến mức tùy ý, bằng cách chọn các hình tròn đủ nhỏ bao quanh điểm a, thì ta nói rằng hàm số đó liên tục tại điểm a.
86
A function as a whole is called continuous if it's continuous at every possible input point.
Một hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm đầu vào có thể có.
87
Now with that as a formal definition of curves, you're ready to define what an actual Hilbert curve is.
Bây giờ, với định nghĩa chính thức về đường cong như vậy, bạn đã sẵn sàng để định nghĩa đường cong Hilbert thực sự là gì.
88
Doing this relies on a wonderful property of the sequence of pseudo-Hilbert curves, which should feel familiar.
Việc thực hiện này dựa trên một tính chất tuyệt vời của dãy các đường cong giả Hilbert, một tính chất mà chắc hẳn bạn sẽ cảm thấy quen thuộc.
89
Take a given input point, like 0.3, and apply each successive pseudo-Hilbert curve function to this point.
Lấy một điểm đầu vào cho trước, ví dụ như 0,3, và áp dụng từng hàm đường cong giả-Hilbert liên tiếp lên điểm này.
90
The corresponding outputs, as we increase the order of the curve, approaches some particular point in space.
Khi ta tăng bậc của đường cong, các kết quả tương ứng sẽ tiến dần đến một điểm cụ thể nào đó trong không gian.
91
It doesn't matter what input you start with, this sequence of outputs you get by applying each successive pseudo-Hilbert curve to this point always stabilizes and approaches some particular point in 2D space.
Dù bạn bắt đầu với đầu vào nào đi nữa, chuỗi kết quả thu được khi áp dụng từng đường cong giả-Hilbert liên tiếp lên điểm này luôn ổn định và tiến tới một điểm cụ thể trong không gian hai chiều.
92
This is absolutely not true, by the way, for snake curves, or for that matter most sequences of curves filling pixelated space of higher and higher resolutions.
Nhân tiện, điều này hoàn toàn không đúng đối với các đường cong hình rắn, hay nói cách khác là đối với hầu hết các chuỗi đường cong lấp đầy không gian pixel hóa với độ phân giải ngày càng cao hơn.
93
The outputs associated with a given input become wildly erratic as the resolution increases, always jumping from left to right, and never actually approaching anything.
Các kết quả đầu ra tương ứng với một đầu vào nhất định trở nên cực kỳ không ổn định khi độ phân giải tăng lên, luôn nhảy từ trái sang phải và không bao giờ thực sự tiến gần đến bất kỳ giá trị nào.
94
Now because of this property, we can define a Hilbert curve function like this.
Bây giờ, nhờ tính chất này, chúng ta có thể định nghĩa một hàm đường cong Hilbert như sau.
95
For a given input value between 0 and 1, consider the sequence of points in 2D space you get by applying each successive pseudo-Hilbert curve function at that point.
Với một giá trị đầu vào nằm trong khoảng từ 0 đến 1, hãy xem xét dãy các điểm trong không gian hai chiều thu được khi áp dụng từng hàm đường cong giả-Hilbert liên tiếp lên điểm đó.
96
The output of the Hilbert curve function evaluated on this input is just defined to be the limit of those points.
Kết quả của hàm đường cong Hilbert được tính toán trên đầu vào này được định nghĩa là giới hạn của các điểm đó.
97
Because the sequence of pseudo-Hilbert curve outputs always converges no matter what input you start with, this is actually a well-defined function in a way that it never could have been had we used snake curves.
Vì chuỗi kết quả của đường cong giả Hilbert luôn hội tụ bất kể bạn bắt đầu với đầu vào nào, đây thực sự là một hàm được định nghĩa rõ ràng theo một cách mà nó không bao giờ có thể đạt được nếu chúng ta sử dụng đường cong hình rắn.
98
Now I'm not going to go through the proof for why this gives a space-filling curve, but let's at least see what needs to be proved.
Bây giờ tôi sẽ không đi qua phần chứng minh tại sao cách này lại tạo ra đường cong lấp đầy không gian, nhưng ít nhất hãy cùng xem những điều cần được chứng minh là gì.
99
First, verify that this is a well-defined function by proving that the outputs of the pseudo-Hilbert curve functions really do converge the way I'm telling you they do.
Trước hết, hãy xác minh đây là một hàm được định nghĩa rõ ràng bằng cách chứng minh rằng các giá trị đầu ra của các hàm đường cong pseudo-Hilbert thực sự hội tụ theo đúng cách mà tôi đã nêu.
100
Second, show that this function gives a curve, meaning it's continuous.
Thứ hai, hãy chứng minh rằng hàm số này tạo ra một đường cong, có nghĩa là nó liên tục.
101
Third, and most important, show that it fills space, in the sense that every single point in the unit square is an output of this function.
Thứ ba, và quan trọng nhất, hãy chứng minh rằng hàm này lấp đầy không gian, theo nghĩa là mọi điểm trong hình vuông đơn vị đều là giá trị đầu ra của hàm này.
102
I really do encourage anyone watching this to take a stab at each one of these.
Tôi thực sự khuyến khích mọi người đang xem thử hãy thử làm từng cái một trong số này.
103
Spoiler alert, all three of these facts turn out to be true.
Cảnh báo tiết lộ nội dung, cả ba sự thật này đều hóa ra là đúng.
104
You can extend this to a curve that fills all of space just by tiling space with squares and then chaining a bunch of Hilbert curves together in a spiraling pattern of tiles, connecting the end of one tile to the start of a new tile with an added little stretch of line if you need to.
Bạn có thể mở rộng điều này thành một đường cong bao phủ toàn bộ không gian chỉ bằng cách lát không gian bằng các ô vuông, sau đó nối nhiều đường cong Hilbert lại với nhau theo một mô hình xoắn ốc của các ô, nối điểm cuối của một ô với điểm đầu của một ô mới bằng một đoạn thẳng nhỏ bổ sung nếu cần.
105
You can think of the first tile as coming from the interval from 0 to 1, the second tile as coming from the interval from 1 to 2, and so on, so the entire positive real number line is getting mapped into all of 2D space.
Bạn có thể coi ô đầu tiên là lấy từ khoảng từ 0 đến 1, ô thứ hai lấy từ khoảng từ 1 đến 2, và cứ thế tiếp tục, do đó toàn bộ đường thẳng số thực dương được ánh xạ vào toàn bộ không gian hai chiều.
106
Take a moment to let that fact sink in.
Hãy dành chút thời gian để thực sự hiểu rõ sự thật đó.
107
A line, the platonic form of thinness itself, can wander through an infinitely extending and richly dense space and hit every single point.
Một đường thẳng, chính là dạng lý tưởng của sự mỏng manh tuyệt đối, có thể đi xuyên qua một không gian mở rộng vô hạn và dày đặc phong phú, đồng thời chạm tới từng điểm một.
108
Notice, the core property that made pseudo-Hilbert curves useful in both the sound-to-sight application and in their infinite origins is that points on the curve move around less and less as you increase the order of those curves.
Lưu ý, tính chất cốt lõi làm cho các đường cong giả Hilbert hữu ích trong cả ứng dụng chuyển đổi âm thanh thành hình ảnh và trong các nguồn gốc vô hạn của chúng là các điểm trên đường cong di chuyển với khoảng cách ngày càng nhỏ hơn khi bạn tăng bậc của các đường cong đó.
109
While translating images to sound, this was useful because it means upgrading to higher resolutions doesn't require retraining your senses all over again.
Khi chuyển đổi hình ảnh thành âm thanh, điều này rất hữu ích vì nó có nghĩa là việc nâng cấp lên độ phân giải cao hơn không yêu cầu phải huấn luyện lại các giác quan của bạn từ đầu.
110
For mathematicians interested in filling continuous space, this property is what ensured that talking about the limit of a sequence of curves was a meaningful thing to do.
Đối với các nhà toán học quan tâm đến việc lấp đầy không gian liên tục, tính chất này chính là thứ đảm bảo rằng việc thảo luận về giới hạn của một dãy các đường cong là một hành động có ý nghĩa.
111
And this connection here between the infinite and finite worlds seems to be more of a rule in math than an exception.
Và mối liên kết này giữa thế giới vô hạn và thế giới hữu hạn dường như là một quy luật trong toán học chứ không phải là một ngoại lệ.
112
Another example that several astute commenters on the Inventing Math video pointed out is the connection between the divergent sum of all powers of 2 and the way that the number of 1 is represented in computers with bits.
Một ví dụ khác mà nhiều người bình luận tinh ý trong video Inventing Math đã chỉ ra là mối liên hệ giữa tổng phân kỳ của tất cả các lũy thừa của 2 và cách biểu diễn số 1 trong máy tính bằng các bit.
113
It's not so much that the infinite result is directly useful, but instead the same patterns and constructs that are used to define and prove infinite facts have finite analogs, and these finite analogs are directly useful.
Không phải là kết quả vô hạn có ích trực tiếp, mà thay vào đó là những mô hình và cấu trúc tương tự được sử dụng để định nghĩa và chứng minh các sự thật vô hạn đều có những tương ứng hữu hạn, và chính những tương ứng hữu hạn này mới có ích trực tiếp.
114
But the connection is often deeper than a mere analogy.
Nhưng mối liên hệ này thường sâu sắc hơn là một sự tương đồng đơn thuần.
115
Many theorems about an infinite object are often equivalent to some theorem regarding a family of finite objects.
Nhiều định lý về một đối tượng vô hạn thường tương đương với một định lý nào đó liên quan đến một họ các đối tượng hữu hạn.
116
For example, if during your sound-to-sight project you were to sit down and really formalize what it means for your curve to stay stable as you increase camera resolution, you would end up effectively writing the definition of what it means for a sequence of curves to have a limit.
Ví dụ, nếu trong dự án chuyển đổi âm thanh thành hình ảnh của bạn, bạn ngồi xuống và thực sự hệ thống hóa ý nghĩa của việc đường cong của bạn vẫn ổn định khi bạn tăng độ phân giải của máy ảnh, thì cuối cùng bạn sẽ thực chất đang viết ra định nghĩa về điều kiện để một dãy các đường cong có giới hạn.
117
In fact, a statement about some infinite object, whether that's a sequence or a fractal, can usually be viewed as a particularly clean way to encapsulate a truth about a family of finite objects.
Trên thực tế, một phát biểu về một đối tượng vô hạn, cho dù đó là một dãy số hay một hình fractal, thường có thể được xem là một cách đặc biệt rõ ràng để gói gọn một chân lý về một họ các đối tượng hữu hạn.
118
The lesson to take away here is that even when a statement seems very far removed from reality, you should always be willing to look under the hood and at the nuts and bolts of what's really being said.
Bài học rút ra ở đây là ngay cả khi một phát biểu có vẻ rất xa rời thực tế, bạn luôn nên sẵn sàng xem xét kỹ lưỡng và đi sâu vào những chi tiết cốt lõi của điều thực sự đang được nói đến.
119
Who knows, you might find insights for representing numbers from divergent sums, or for seeing with your ears from filling space.
Ai biết được, có lẽ bạn sẽ tìm ra những hiểu biết sâu sắc về cách biểu diễn số từ các chuỗi tổng phân kỳ, hoặc về khả năng "nhìn bằng tai" thông qua việc lấp đầy không gian.
Tải Ứng Dụng
Mọi thứ bạn cần để nói trôi chảy
Chấm điểm AIChấm từng câu nói
Luyện IPAThành thạo mọi âm
Từ vựngMở rộng vốn từ
Game Từ vựngHọc qua chơi
Cùng kênh
C1Differential equations, a tourist's guide | DE1
Daily ConversationUniversity Students
C12
Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra
American AccentCambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults
C15
Fourier series
American AccentUniversity StudentsWorking Adults
C14
Euler's Formula Poem
American AccentIELTS PrepTOEFL PrepUniversity Students
C12
Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C13
How might LLMs store facts | Deep Learning Chapter 7
American AccentIELTS PrepTOEFL PrepUniversity Students
C113
Essence of linear algebra preview
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C15
The inscribed square problem
American AccentUniversity StudentsWorking Adults
C14
The Newton art puzzle
American AccentUniversity StudentsWorking Adults
C15
Transformers, the tech behind LLMs | Deep Learning Chapter 5
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C12
Oh, wait, actually the best Wordle opener is not “crane”…
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C255
Large Language Models explained briefly
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C211
But what is a neural network? | Deep learning chapter 1
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C1But what is the Fourier Transform? A visual introduction.
Daily ConversationUniversity Students
C1Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C1But what is quantum computing? (Grover's Algorithm)
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C1Tie random ends: How many loops?
American AccentUniversity StudentsWorking Adults
FOR YOU
Video gợi ý
C14
123 câu
Introduction to Diminsionality Reduction (a.k.a. Manifold Learning)
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C11
196 câu
Psychology of Polymaths: Why Having Multiple Interests Is an Unfair Advantage
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C12
106 câu
What is Engineering?: Crash Course Engineering #1
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C12
234 câu
Cursed Units 2: Curseder Units
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
B217 câu
Did someone say... SecondBrain?
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C14
283 câu
The Banach–Tarski Paradox
American AccentUniversity StudentsWorking Adults
C17
162 câu
Why I use single-color gradients in my CSS
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C12
41 câu
Mathematical Statistics and the Theory of Probability in Casinos
Business EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C12
86 câu
The Map of Mathematics
British AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
C13
156 câu
100+ Computer Science Concepts Explained
American AccentBusiness EnglishUniversity StudentsWorking Adults
Tại sao nên thực hành nói với video này?
Video này không chỉ đơn thuần là một bài giảng về hàm số Hilbert và các ứng dụng của nó trong toán học, mà còn là một cơ hội tuyệt vời để bạn thực hành shadow speech – một kỹ thuật giúp cải thiện phát âm tiếng anh chuẩn. Khi bạn xem video, hãy chú ý đến cách diễn giả truyền đạt ý tưởng cùng với cách dùng từ, ngữ điệu và nhấn mạnh. Thực hành theo từng câu nói trong video sẽ hỗ trợ bạn phát triển khả năng giao tiếp và tự tin hơn khi nói tiếng Anh, đặc biệt trong các ngữ cảnh kỹ thuật hay học thuật.
Ngữ pháp & Biểu thức trong ngữ cảnh
- Cấu trúc câu hỏi: Câu hỏi hay được sử dụng trong video như "So the question is, how can these results ever be useful..." cho phép người nghe suy nghĩ sâu về vấn đề đang được thảo luận. Từ đây, bạn có thể học cách đặt câu hỏi trong giao tiếp.
- Câu điều kiện: Câu điều kiện giả định như "if we left those mini-curves oriented as they are..." giúp bạn hiểu cách sử dụng những cấu trúc này khi mô tả các tình huống tiềm năng.
- Chỉ thị và giải thích: Những câu như "Let's say you wanted to write some software..." minh họa cách nói về giả thuyết và gợi ý, rất hiệu quả trong thảo luận và trình bày ý tưởng.
Những cạm bẫy phát âm phổ biến
Khi nghe video, có vài từ và cụm từ bạn nên chú ý để tránh bị nhầm lẫn trong luyện nghe nói qua video. Chẳng hạn như các từ "frequency" và "quadrant". Cả hai từ này có thể gây khó khăn do cách phát âm và ngữ điệu. Hãy lắng nghe và lặp lại nhiều lần để làm quen với âm điệu của chúng. Thêm vào đó, việc sử dụng phần mềm shadowing để luyện tập phát âm cùng video sẽ giúp bạn phát triển khả năng nghe và nói một cách hiệu quả.
Ngữ pháp trong video
Những cấu trúc người nói dùng nhiều nhất, kèm đúng cụm từ trong video:
| Cấu trúc | Trong video |
|---|---|
| Câu bị động be + quá khứ phân từ — nhấn vào việc xảy ra, không phải người làm | is scrambled · would be played · is left |
| Thì hiện tại hoàn thành have/has + quá khứ phân từ — việc đã xảy ra nhưng còn liên quan đến hiện tại | I've left · you've given · has jagged |
Phương Pháp Shadowing Là Gì?
Shadowing là kỹ thuật học ngôn ngữ có cơ sở khoa học, ban đầu được phát triển cho chương trình đào tạo phiên dịch viên chuyên nghiệp và được phổ biến rộng rãi bởi nhà đa ngôn ngữ học Dr. Alexander Arguelles. Nguyên lý cốt lõi đơn giản nhưng cực kỳ hiệu quả: bạn nghe tiếng Anh của người bản xứ và lặp lại to ngay lập tức — như một "cái bóng" (shadow) đuổi theo người nói với độ trễ chỉ 1–2 giây. Khác với luyện ngữ pháp hay học từ vựng bị động, Shadowing buộc não bộ và cơ miệng phải đồng thời xử lý và tái tạo ngôn ngữ thực tế. Các nghiên cứu khoa học xác nhận phương pháp này cải thiện đáng kể phát âm, ngữ điệu, nhịp điệu, nối âm, kỹ năng nghe và độ lưu loát khi nói — đặc biệt hiệu quả cho người luyện IELTS Speaking và muốn giao tiếp tiếng Anh tự nhiên như người bản ngữ.