Luyện nói tiếng Anh bằng Shadowing qua video: Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

Chọn chế độ luyện tập

Mỗi chế độ mở một phòng luyện tập toàn màn hình.

91 câu

Nếu các câu quá ngắn hoặc quá dài, hãy bấm Edit để chỉnh sửa.

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates, where there's this back and forth between,

for example, pairs of numbers and two -dimensional vectors.

ví dụ, các cặp số và các vectơ hai chiều.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you, but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, which is pretty central to linear algebra.

Bây giờ, tôi cho là nhiều bạn đã quen thuộc với các tọa độ vectơ, nhưng còn có một cách thú vị khác để suy nghĩ về những tọa độ này, và cách này đóng vai trò khá quan trọng trong đại số tuyến tính.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, like 3, negative 2, I want you to think about each coordinate as a scalar,

Khi bạn có một cặp số dùng để mô tả một vectơ, ví dụ như 3, âm 2, tôi muốn bạn nghĩ về mỗi tọa độ như một đại lượng vô hướng.

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

có nghĩa là hãy xem xét cách từng phép biến đổi kéo giãn hay nén các vectơ.

In the xy coordinate system, there are two very special vectors, the one pointing to the right with length 1, commonly called i hat, or the unit vector in the x direction,

Trong hệ tọa độ xy, có hai vectơ rất đặc biệt: một vectơ hướng sang phải với độ dài bằng 1, thường được gọi là vectơ đơn vị theo phương x, hay còn gọi là i mũ.

and the one pointing straight up with length 1 commonly called j hat, or the unit vector in the y direction.

và vectơ chỉ thẳng đứng có độ dài bằng 1 thường được gọi là j mũ, hay vectơ đơn vị theo phương y.

Now, think of the x coordinate of our vector as a scalar that scales i hat, stretching it by a factor of 3.

Bây giờ, hãy coi tọa độ x của vector của chúng ta là một đại lượng vô hướng có tác dụng co giãn vector đơn vị i, kéo dài nó theo hệ số 3.

And the y coordinate as a scalar that scales j hat, flipping it and stretching it by a factor of 2.

Và tọa độ y là một đại lượng vô hướng nhân với vector đơn vị j, đảo ngược hướng của nó và kéo dài nó theo hệ số 2.

In this sense, the vector that these coordinates describe is the sum of two scaled vectors.

Theo nghĩa này, vectơ mà các tọa độ này mô tả là tổng của hai vectơ đã được nhân tỉ lệ.

That's a surprisingly important concept, this idea of adding together two scaled vectors.

Đó là một khái niệm quan trọng đến đáng ngạc nhiên, ý tưởng về việc cộng hai vector đã được co giãn với nhau.

Those two vectors, i -hat and j -hat, have a special name, by the way.

Nhân tiện, hai vectơ đó, i-hat và j-hat, có một cái tên đặc biệt.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Chúng cùng nhau được gọi là cơ sở của một hệ tọa độ.

What this means, basically, is that when you think about coordinates as scalars, the basis vectors are what those scalars actually, you know, scale.

Về cơ bản, điều này có nghĩa là khi bạn coi các tọa độ là các đại lượng vô hướng, thì các vectơ cơ sở chính là những đối tượng mà các đại lượng vô hướng đó thực hiện phép co giãn.

There's also a more technical definition, but I'll get to that later.

Cũng có một định nghĩa chuyên sâu hơn, nhưng tôi sẽ đề cập đến nó sau.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, it raises a pretty interesting and subtle point.

Bằng cách đặt hệ tọa độ của chúng ta dựa trên hai vectơ cơ sở đặc biệt này, nó đã nêu lên một điểm khá thú vị và tinh tế.

We could have chosen different basis vectors and gotten a completely reasonable new coordinate system.

Chúng ta có thể đã chọn các vectơ cơ sở khác và thu được một hệ tọa độ mới hoàn toàn hợp lý.

For example, take some vector pointing up and to the right, along with some other vector pointing down and to the right in some way.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get by choosing two scalars, using each one to scale one of the vectors, then adding together what you get.

Which two -dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

The answer is that you can reach every possible two -dimensional vector, and I think it's a good puzzle to contemplate why.

A new pair of basis vectors like this still gives us a valid way to go back

and forth between pairs of numbers and two -dimensional vectors, but the association is definitely different from the one

that you get using the more standard basis of i -hat and j -hat.

This is something I'll go into much more detail on later, describing the exact relationship between different coordinate systems,

But for right now, I just want you to appreciate the fact that anytime we describe vectors numerically, it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using.

So anytime that you're scaling two vectors and adding them like this, it's called a linear combination of those two vectors.

Where does this word linear come from?

Why does this have anything to do with lines?

Well, this isn't the etymology, but one way I like to think about it is that

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely, the tip of the resulting vector draws a straight line.

Now if you let both scalars range freely, and consider every possible vector that you can get, there are two things that can happen.

For most pairs of vectors, you'll be able to reach every possible point in the plane.

Every two -dimensional vector is within your grasp.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

Actually, technically there's a third possibility too.

Both your vectors could be zero, in which case you'd just be stuck at the origin.

Here's some more terminology.

The set of all possible vectors

that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors is called the span of those two vectors.

So restating what we just saw in this lingo, the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space, but when they line up,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking, what are all the possible vectors you can reach using only these two fundamental operations,

vector addition and scalar multiplication?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line, and more crowded still to think about all two -dimensional vectors all at once, filling up the plane.

So, when dealing with collections of vectors like this, it's common to represent each one with just a point in space.

The point at the tip of that vector where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line, just think about the line itself.

Likewise, to think about all possible two -dimensional vectors all at once, conceptualize each one as the point where its tip sits.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two -dimensional space itself, leaving the arrows out of it.

In general, if you're thinking about a vector on its own, think of it as an arrow.

And if you're dealing with a collection of vectors, it's convenient to think of them all as points.

So, for our span example, the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two -dimensional space

but if they line up, their span is just a line.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three -dimensional space.

For example, if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction, what does it mean to take their span?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way and then adding them together.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three -dimensional space.

This flat sheet is the span of the two vectors, Or, more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on

that flat sheet is the span of your two vectors.

Isn't that a beautiful mental image?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

You'll choose three different scalars, scale each of those vectors, and then add them all together.

And, again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Two different things could happen here.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two, then the span doesn't change.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination

doesn't really give you access to any new vectors.

But if you just randomly choose a third vector, it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

Then, since it's pointing in a separate direction, it unlocks access to every possible three -dimensional vector.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector, it moves around that span sheet of the first two, sweeping it through all of space.

Another way to think about it is

that you're making full use of the three freely changing scalars

that you have at your disposal to access the full three dimensions of space.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two, or the case where two vectors happen to line up,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, not adding anything to our span.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span, the relevant terminology is to say that they are linearly dependent.

Another way of phrasing that would be to say

that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, since it's already in the span of the others.

On the other hand, if each vector really does add another dimension to the span, they're said to be linearly independent.

So with all of that terminology, and hopefully with some good mental images to go with it, let me leave you with a puzzle before we go.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space.

Now, given how I described a basis earlier, and given your current understanding of the words span

and linearly independent think about why this definition would make sense in the next video I'll get into matrices

and transforming space see you then

Tải Ứng Dụng

Mọi thứ bạn cần để nói trôi chảy

Chấm điểm AIChấm từng câu nói

Luyện IPAThành thạo mọi âm

Từ vựngMở rộng vốn từ

Game Từ vựngHọc qua chơi

Quét QR

Download on theApp Store Get it onGoogle Play

Cùng kênh

FOR YOU

Video gợi ý

55 câu

Convergence and Divergence: The Return of Sequences and Series

Cambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults

221 câu

Derivative as slope of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy

Cambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults

464 câu

Lec 1 | MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

TOEFL PrepCambridge Exam PrepUniversity Students

652 câu

СПИДРАН НА ВСЮ ФИЛОСОФИЮ ЗА 45 МИНУТ

Cambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults

114 câu

Newton, Leibniz, and Usain Bolt | Derivatives introduction | AP Calculus AB | Khan Academy

Cambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults

108 câu

Writing Systems: Crash Course Linguistics #16

Cambridge Exam PrepUniversity StudentsWorking Adults

68 câu

Lesson Eight: Placement of the Orchestra, Leonard Slatkin's Conducting School

Daily ConversationUniversity StudentsWorking Adults

102 câu

Orbital Mechanics - Newton's Laws

TOEFL PrepCambridge Exam PrepUniversity Students

108 câu

How I Learned Procedural Generation

Daily ConversationUniversity StudentsWorking Adults

88 câu

Contemporary Topics 2 Unit 5 Lecture with Powerpoint

IELTS PrepTOEFL PrepCambridge Exam Prep

Từ vựng và ghi chú luyện nói cho bài học này

Bài luyện nói trình độ C1 này dựa trên video “Linear combinations, span, and basis vectors”. Những từ được nhắc lại nhiều nhất trong bài: vector, span, scalar, coordinate, dimensional. Video này có 91 câu và 1667 từ để luyện shadowing. Phần lời nói dài 9:26. Người nói nói với tốc độ tự nhiên, khoảng 177 từ mỗi phút, gần với hội thoại hằng ngày. Chỉ 79% số từ nằm trong 3.000 từ tiếng Anh thông dụng nhất, nên từ vựng khá khó.

Từ vựng quan trọng trong video

13 từ khó nhất trong video, kèm phiên âm và nghĩa:

Từ	Phiên âm	Nghĩa
vector danh từ	/ˈvɛktɚ/	đại lượng có hướng, đại lượng hữu hướng
scalar tính từ	/ˈskeɪ.lə/	vô hướng
coordinate động từ	/koʊˈɔɹ.dəˌneɪt/	điều phối, hợp tác
multiplication danh từ	/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/	phép nhân
algebra danh từ	/ˈæl.d͡ʒɪ.bɹə/	đại số
puzzle danh từ	/ˈpʌzəl/	sự bối rối, sự khó xử
contemplate động từ	/ˈkɑn.təmˌpleɪt/	nghĩ
etymology danh từ	/ˌɛtəˈmɑləd͡ʒi/	từ nguyên
redundant tính từ	/ɹɪˈdʌn.dənt/	rườm rà, dư thừa
unlucky tính từ	/ʌnˈlʌki/	xui xẻo, xui
unlock động từ	/ʌnˈlɑk/	mở khóa
sweep động từ	/swiːp/	quét dọn, quét
surprisingly trạng từ	/səˈpɹaɪzɪŋli/	không ngờ

Cụm động từ bạn sẽ nghe

Từ	Nghĩa
go back động từ	trở lại

Phát âm cần chú ý

Người nói dùng 19 dạng rút gọn, ví dụ you're, I'll, you'll. Hãy nói theo dạng ngắn đúng như bạn nghe.

Âm “sh” và “zh”: dimensional /daɪˈmɛn.ʃə.nəl/, multiplication /ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/, combinations /kɑmbɪˈneɪʃənz/, dimension /daɪˈmɛn.ʃən/
Từ dài — đặt trọng âm cho đúng: coordinate /koʊˈɔɹ.dəˌneɪt/, dimensional /daɪˈmɛn.ʃə.nəl/, terminology /ˌtɝ.məˈnɑ.lə.d͡ʒi/, multiplication /ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən/, combinations /kɑmbɪˈneɪʃənz/

Những âm người Việt thường gặp khó:

Cụm phụ âm cuối — đọc đủ từng âm, đừng nuốt âm cuối: combinations /kɑmbɪˈneɪʃənz/, revolve /ɹɪˈvɑlv/, redundant /ɹɪˈdʌn.dənt/, grasp /ɡɹæsp/, transform /tɹænsˈfɔɹm/
Âm /tʃ/, /dʒ/ và /ʒ/ — tiếng Việt không có, đừng đọc thành “ch” hay “gi”: terminology /ˌtɝ.məˈnɑ.lə.d͡ʒi/, algebra /ˈæl.d͡ʒɪ.bɹə/, etymology /ˌɛtəˈmɑləd͡ʒi/
Âm /æ/ — mở miệng rộng hơn âm “e”: algebra /ˈæl.d͡ʒɪ.bɹə/, randomly /ˈɹændm̩li/, grasp /ɡɹæsp/, transform /tɹænsˈfɔɹm/

Cách luyện với video này

Nghe hết video một lần, chưa cần nói, và ghi lại những từ bạn chưa biết.
Bắt đầu ở tốc độ 0,75×, nói đuổi từng câu, rồi quay lại tốc độ bình thường khi đã quen.
Ghi âm giọng mình rồi so với bản gốc, chú ý các từ như vector, scalar, coordinate.

Phương Pháp Shadowing Là Gì?

Shadowing là kỹ thuật học ngôn ngữ có cơ sở khoa học, ban đầu được phát triển cho chương trình đào tạo phiên dịch viên chuyên nghiệp và được phổ biến rộng rãi bởi nhà đa ngôn ngữ học Dr. Alexander Arguelles. Nguyên lý cốt lõi đơn giản nhưng cực kỳ hiệu quả: bạn nghe tiếng Anh của người bản xứ và lặp lại to ngay lập tức — như một "cái bóng" (shadow) đuổi theo người nói với độ trễ chỉ 1–2 giây. Khác với luyện ngữ pháp hay học từ vựng bị động, Shadowing buộc não bộ và cơ miệng phải đồng thời xử lý và tái tạo ngôn ngữ thực tế. Các nghiên cứu khoa học xác nhận phương pháp này cải thiện đáng kể phát âm, ngữ điệu, nhịp điệu, nối âm, kỹ năng nghe và độ lưu loát khi nói — đặc biệt hiệu quả cho người luyện IELTS Speaking và muốn giao tiếp tiếng Anh tự nhiên như người bản ngữ.

Phương pháp shadowing: đọc hướng dẫn từng bước đầy đủ →

Luyện nói tiếng Anh bằng Shadowing qua video: Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

Chọn chế độ luyện tập

Tải Ứng Dụng

Cùng kênh

Differential equations, a tourist's guide | DE1

The inscribed square problem

The Newton art puzzle

How might LLMs store facts | Deep Learning Chapter 7

Transformers, the tech behind LLMs | Deep Learning Chapter 5

Fourier series

Euler's Formula Poem

Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

Essence of linear algebra preview

Large Language Models explained briefly

Oh, wait, actually the best Wordle opener is not “crane”…

Hilbert's Curve: Is infinite math useful?

But what is a neural network? | Deep learning chapter 1

Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more

But what is quantum computing? (Grover's Algorithm)

Tie random ends: How many loops?

Video gợi ý

Convergence and Divergence: The Return of Sequences and Series

Derivative as slope of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy

Lec 1 | MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

СПИДРАН НА ВСЮ ФИЛОСОФИЮ ЗА 45 МИНУТ

Newton, Leibniz, and Usain Bolt | Derivatives introduction | AP Calculus AB | Khan Academy

Writing Systems: Crash Course Linguistics #16

Lesson Eight: Placement of the Orchestra, Leonard Slatkin's Conducting School

Orbital Mechanics - Newton's Laws

How I Learned Procedural Generation

Contemporary Topics 2 Unit 5 Lecture with Powerpoint

Từ vựng và ghi chú luyện nói cho bài học này

Từ vựng quan trọng trong video

Cụm động từ bạn sẽ nghe

Phát âm cần chú ý

Cách luyện với video này

Phương Pháp Shadowing Là Gì?